Última clase de Circuitos Lineales

Hoy es jueves 30 de Mayo, última clase de este curso introductorio de circuitos, donde la estrategia seguida durante el curso ha sido muy clara e intentaremos plasmarla en esta última entrada del Blog. El cuadrimestre empezó el día 21 de febrero, enmarcando nuestro campo de estudio, seguido de el estudio de los circuitos trabajando en RPS. Seguidamente, introdujimos el Amplificador Operacional como dispositivo electrónico, al cuestionarnos como construir una fuente controlada. Después, cambiamos de ámbito. Empezamos a estudiar el concepto de valores medios, valores eficaces y potencia, donde este último nos llevo a hablar de lineas de transmisión y cuyo dispositivo nos permitió hablar sobre los transformadores. En el clímax del curso, encontraríamos los trazados de Bode, concepto que siguió a los transformadores, y que retomaba esa ventana que se abrió justo después de analizar circuitos con RPS. Ya para terminar el curso, extrapolamos todos nuestros conocimientos de RPS a excitaciones periódicas no sinusoidales gracias a los mecanismos de Fourier seguido del estudio del régimen transitorio de un circuito utilizando la transformada de Laplace.

Ha estado un curso corto pero intenso, donde tener claros, día a día, los conceptos ha sido fundamental para entender la asignatura. Nuestro profesor, Jose María Miguel, ha sido nuestro guía, un hombre peculiar pero sin duda un muy buen profesor. Personalmente, antes de entrar a este curso de circuitos, la electrónica no era mi pasión y actualmente, aunque no es mi vocación, como fanático de la música e integrante de el grupo MAISHA, juntamente con tres compañeros más de clase, tengo ganas de intentar aplicar lo aprendido para intentar entender mejor las tablas de mezclas o con el objetivo de conseguir nuevos sonidos. 

Por lo tanto, para finalizar, muchas gracias a todos los seguidores del Blog, espero que sea útil para todos los fanáticos de los circuitos y hasta pronto!

Aleix Julià
2-6-2013

Lunes, 27 de Mayo

Empezamos la penúltima sesión del curso haciendo un repaso de lo que se ha explicado hasta ahora de la aplicación de la transformada de Laplace en los circuitos. A simple vista, parece que ya está todo explicado sobre el tema, pero si nos fijamos atentamente, veremos que hemos pasado por alto la duración del transitorio.  

¿Cuál es la duración del transitorio?

Para encontrar aproximadamente la duración del transitorio, tenemos varias formas:

• Hacer el inverso de lo que acompaña a t en cada expresión del transitorio
• Hacer el inverso del ancho de banda

Evidentemente, en el caso que tengamos más de una expresión en el régimen transitorio, la duración de transitorio corresponderá a la mayor de los casos.

¿Cómo saber si un circuito es estable?

1) Obteniendo la H(s)

• Si es de 1er grado el denominador debe ser completo y de mismo signo en todos los factores
• Si es de 2do grado el denominador debe ser completo y de mismo signo en todos los factores
• Si es de 3er grado el denominador debe cumplir a2·a1>a3·a0

2) Si no hay fuentes controladas y hay un resistor, seguro que el circuito es estable

Excitaciones no periódicas ni uniformes

Para terminar la clase vamos a ver que sucede cuando excitamos un circuito con una excitación que no es ni periódica ni uniforme. Como este tipo de excitación no responde a ningún patrón repetitivo, la única forma de conocer lo que va a suceder es obteniendo valores discretos, lo que se llama discretizar una función. Para discretizar una función debemos conocer el intervalo de tiempo Ts, cuyo criterio es:

En el caso de simuladores de circuitos como PSPICE, el comando que representa el transitorio exige conocer el tiempo de discretización. El comando de los siguientes cuatro parámetros:

.TRAN (algo menor que el transitorio) (durada del transitorio) (0) (Ts)

También tenemos un criterio llamado de Nyquistiv que establece la frecuencia mínima a la que se deben tomar muestras en una señal para no perder información. Este criterio esta basado en la siguiente expresión:

Procesado numérico de señal

El procesado numérico de señal está relacionado con la discretización de una función y tiene utilidad para conocer la respuesta de un circuito sin necesidad de montarlo, simplemente usando algoritmos matemáticos. El proceso que se sigue es el mostrado en la imagen.

Jueves, 23 de Mayo

Retomamos el hilo de la clase anterior con una clase más práctica que teórica. El último día introducimos el concepto de la Transformada de Laplace y vimos que los polinomios que obtenemos no son nada más que cocientes de polinomios en ese. Seguidamente, ya conociendo las tablas de transformadas y algún concepto más, nos atrevimos a realizar algún ejercicio aplicado a circuitos que resolvimos a partir de ecuaciones diferenciales. El objetivo de la sesión de hoy es intentar conseguir un método mucho más practico que no nos permita resolver el circuito sin necesidad de utilizar las ecuaciones diferenciales, en definitiva, encontrar un método eficiente tal y como hicimos en su día con el CTF. 

Para ello, buscamos la forma de obtener el equivalente de los elementos de los circuitos en régimen temporal traspuestos a la transformada de Laplace. Tras el análisis de los elementos, obtenemos las siguientes conclusiones:

• Resistor: El resistor es el elemento que permanece inmune a la transformada, sigue siendo un resistor de valor R. 
• Inductor: Un inductor de valor L se transforma en un inductor del mismo valor en paralelo con una fuente ideal de corriente cuyo valor es I(0-)/S.
• Condensador: Un condensador de valor C se transforma en un condensador del mismo valor en serie con una fuente ideal de tensión cuyo valor es V(0-)/S.

A partir de estos resultados podemos suponer que existirá, del mismo modo que existe una H(s) para el CTF, una expresión en el dominio de la transformada de Laplace. Efectivamente, existe esta función de red y además coincide con la obtenida con el CTF. Por lo tanto, ¿ Cuál es la respuesta completa del circuito? En el dominio de Laplace está formada por un sumatorio de cocientes de polinomios en s, tantos como raíces haya en el denominador más la excitación de la entrada. Transponiendo al dominio temporal, obtenemos lo que llamaremos la respuesta propia del circuito, la provocada por el circuito por ser tal y como es, formada por las transformadas inversas de Laplace y la respuesta forzada por Vg(t), con su amplificación y desfase correspondiente, que obtendremos como hemos hecho siempre, buscando el módulo y el desfase de H(s) siendo s=jw. 

Jueves, 16 de Mayo

A pocas semanas de terminar el cuadrimestre y para terminar lo que ha sido este curso introductorio sobre circuitos lineales, empezamos un tema nuevo relacionado con el análisis de ese periodo corto antes de producirse el régimen permanente sinusoidal, llamado el transitorio. Para ello, se introduce un nuevo concepto matemático llamado la Transformada de Laplace, en honor a su creador Pierre Simon Laplace. 

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Seguidamente, vamos a exponer las transformadas de las funciones más usuales en el campo de los circuitos:

Como podemos ver, las transformadas de Laplace son cocientes de polinomios en s y por lo tanto podemos representar su diagrama polos-ceros.

¿Qué información obtenemos de los polos de Laplace?

Es justamente a partir del diagrama polos de las transformadas de Laplace de donde podemos sacar toda la información sobre la estabilidad de un circuito y la forma del transitorio. A grandes trechos, podemos clasificar los circuitos en dos grandes grupos: 

Estables: Los circuitos estables son aquellos cuyos polos se sitúan únicamente en el semiplano izquierdo del diagrama o en el eje de ordenadas. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria se desvanece pasado un intervalo pequeño de tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales decrecientes cuyo exponente corresponde a la forma -at, donde a es el punto donde se encuentran (-a,0).
• Polos imaginarios complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales monótonas. 
• Polos complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales decrecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo decrecimiento corresponde a una exponencial del tipo -at, donde a es la parte real del polo.
• Polo en el (0,0): Según la transformada inversa de Laplace obtenemos la función escalón.

Inestables: Los circuitos inestables son aquellos cuyos polos se encuentran en el semiplano derecho del diagrama. Basta con que uno de los polos esté en este semiplano, para que el circuito sea inestable. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria aumenta a medida que va pasando el tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales crecientes cuyo exponente corresponde a la forma at, donde a es el punto donde se encuentran (a,0).
• Polos complejos conjugados:Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales crecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo crecimiento corresponde a una exponencial del tipo at, donde a es la parte real del polo.

Propiedades

Del mismo modo que de una función en el dominio temporal podemos obtener su función transformada de Laplace, de la derivada de la función en el dominio temporal también podemos obtener su función derivada transformada de Laplace. 

Esta propiedad a veces es útil para encontrar la función transformada de Laplace de una función cuando directamente aplicando la definición es realmente complicado. Un ejemplo de esta utilidad es la llamada función rampa, cuya transformada es:

Lunes, 13 de Mayo

Retomamos el hilo de la última sesión  para acabar de matizar los conceptos sobre la serie de Fourier y las representaciones espectrales de una excitación. En él, vemos bastante claro el procedimiento a seguir para encontrar la respuesta en la salida del circuito. Los pasos se detallan a continuación:

• Realizar la representación espectral de la excitación de entrada
• Calcular el trazado de Bode de H(s) del circuito
• Calcular el espectro en Vo multiplicando el valor del espectro de entrada a una frecuencia dada por el módulo de H(s) a esa frecuencia. 

Utilizando este último punto, se introduce una nueva forma de calcular el módulo de la tensión de salida de una forma más rápida. Si en vez de tener el espectro de los módulos de la tensión de entrada, tenemos el espectro de la tensión de entrada en dBmicroVoltios, el espectro de salida se obtendrá sumándole a los espectros de entrada , la ganancia en dB a la frecuencia correspondiente. 

Modelar circuitos

Para terminar, dejamos la teoría sobre espectros y DSF y nos centramos un poco en el modelaje de circuitos. 

• La primera cuestión que se nos propone consiste en como obtener a la salida el valor medio de la excitación de entrada. Como hemos visto, el DSF está formado por una tensión continua correspondiente al valor medio de la excitación. Para ello, el procedimiento a seguir, consiste en eliminar todas las frecuencias sinusoidales usando un circuito paso-bajo, con una frecuencia mucho menor a la frecuencia del primer armónico. En la imagen, podemos ver dos circuitos que desempeñan la función de paso bajo, donde el segundo produce un efecto paso-bajo mayor ya que son dos circuitos RC conectados en cascada y por lo tanto, la atenuación se produce a -40dB/dec.

Usando este ejemplo se introduce un concepto clave para la ingeniería de telecomunicaciones consistente en evaluar la relación señal-ruido del espectro en Vo. Para ello, debemos efectuar la siguiente operación, donde la señal útil es la que nosotros queremos recibir y la señal de ruido son todas las demás:

En el momento que obtenemos el resultado, si la diferencia entre los espectros útil y ruido superan los 30dB podemos afirmar que la contribución del armónico es despreciable. 

• La segunda cuestión consiste en obtener una sinusoide a partir de una señal cuadrada. El método a seguir es simple, solo debemos diseñar un circuito con un pico de resonancia suficientemente estrecho para que el ruido sea despreciable y donde la frecuencia del pico sea el armónico fundamental. Un circuito capaz de desempeñar esta función es el mostrado en la siguiente imagen. 

• La tercera cuestión consiste en diseñar un detector de amplitud o conversor AC-DC. Para ello diseñamos un circuito como el de la imagen donde primeramente convertimos la señal sinusoidal en una señal periódica de semiciclos positivos, seguidamente,a través de un seguidor de tensión para que la corriente no se vea afectada, conectamos un circuito paso-bajo para atenuar las excitaciones sinusoidales y posteriormente conectamos un amplificador no inversor para eliminar el coeficiente Co. 

Jueves, 9 de Mayo

Hasta ahora hemos aprendido a tratar circuitos con excitaciones periódicas que trabajan en RPS (Régimen Permanente Sinusoidal). En este momento del curso, es el momento de extrapolar todos nuestros conocimientos a excitaciones periódicas pero que no sean sinusoidales. Para ello, recurrimos a un matemático francés Jean-Baptiste Fourier que a través de su método llamado Series de Fourier nos propone la descomposición de cualquier función periódica a partir de suma de senos y cosenos.  

Versión matemática

La versión matemática de la serie de Fourier la podemos encontrar en el siguiente enlace, ya que en un Blog de circuitos no tiene sentido explicar la demostración matemática de dicho teorema. Lo que si que es importante es conocer las expresiones de la serie, donde cabe destacar, la integral de la constante, ya que coincide con la expresión del valor medio ya estudiado anteriormente.

Versión circuital

Si se ha consultado el enlace anterior, a grosso modo, podemos entender que la serie de Fourier consta de una componente constante y un sumatorio de cosenos formados por una constante y una frecuencia que depende de un término n, que pertenece a los naturales. Por lo tanto, la representación circuital de una función periódica no senoidal consiste en una fuente ideal de tensión de valor Co y tantos generadores de funciones como términos cojamos, donde el primer generador tiene la misma frecuencia que la excitación, por eso es llamado el armónico fundamental, el segundo generador tendrá una frecuencia doble, el tercer generador una frecuencia triple, y así sucesivamente.

Versión espectral

Del teorema de Fourier podemos sacar una conclusión bastante clara: cualquier excitación tiene un espectro dentro, algo oculto. En este caso, lo que vemos es que cualquier excitación, está formada por un sumatorio de funciones sinusoidales. Por eso, introducimos un nuevo concepto llamado la representación espectral de una función, en la cual representaremos las amplitudes de los espectros de la excitación en función de la frecuencia que tengan, un ejemplo de dicha representación, la podemos ver en la siguiente imagen. 

¿Es buena la aproximación?

Tras realizar un ejemplo donde se introduce una excitación cuadrada y se calcula la potencia disipada tanto a partir de la excitación cuadrada, como a partir del DSF tomando solo un par de términos, es decir, n=2, nos percatamos que la aproximación es del 95%. 

Terminamos la clase, preguntando: Se puede obtener una respuesta continua en la salida de un circuito teniendo como entrada una excitación periódica?

La respuesta no es, ni mucho menos, complicada. Teniendo en cuenta el DSF donde se nos dice que cualquier excitación esta compuesta por una componente continua y un sumatorio de senos y cosenos donde la primera excitación sinusoidal tiene la misma frecuencia que la excitación de entrada, lo que debemos hacer es colocar un circuito paso bajo donde la frecuencia de corte esté muy por debajo del armónico fundamental, de este modo, la componente continua se mantendrá y las excitaciones sinusoidales se atenuarán.

Lunes, 6 de Mayo

Tras no poder asistir a clase debido a asuntos personales, recurrí a pedir los apuntes a un compañero de clase, cuyo Blog podéis ver en el siguiente enlace (http://circuitosenlinea.wordpress.com/) y en el cual podéis encontrar, también, información relevante sobre la asignatura de Circuitos Lineales. Seguidamente, adjuntamos el apartado referente a la sesión del día 6.

Tal y como hicimos con los filtros paso-bajo, definiremos en este caso el ancho de banda como el intervalo de frecuencias que experimentan una amplificación de al menos 3 dB por debajo de la máxima amplificación del pico (esto es, si el pico es de 64 dB, el ancho de banda es el intervalo de frecuencias que son amplificadas al menos 61 dB). Hemos visto que, siempre que ρ < 0.1, las frecuencias de corte superior e inferior (las que delimitan el ancho de banda) son ωo ± 2ρ.

ωci = ωo - 2ρ

ωcs = ωo + 2ρ

Hemos definido también una medida para conocer la precisión o selectividad de un pico de resonancia, y la hemos llamado factor de calidad Q. Es el cociente entre la frecuencia ωo y el ancho de banda, ya que construir un resonador con el mismo ancho de banda pero a una frecuencia de resonancia mucho mayor es más difícil. Por otra parte, un resonador con la misma frecuencia de resonancia que otro pero mayor ancho de banda será de peor calidad.

Q = ωo / BW

Por último, hemos definido el dBμV como 20 veces el logaritmo del cociente entre una tensión y un microvatio. De esta manera, la tensión de salida, expresada en dBμV, será igual a la tensión de entrada, también expresada en dBμV más la ganancia del circuito a esa determinada frecuencia, también expresada en dB. Esto nos simplificará la obtención de tensiones de salida y entrada.

Vo (dBμV) = Vg (dBμV) + G (dB)

Y es con este concepto con el cual acabamos el apartado de la representación de H(s) mediante los trazados de Bode. 

Jueves, 2 de Mayo

Retomamos el hilo de la clase anterior, con un par de ejercicios sobre trazados de Bode y vemos claramente a que se refería este señor cuando decía que la respuesta del circuito es la suma punto a punto de cada termino de los polinomios que forman la H(s). Por ejemplo: Si tenemos un polinomio en el numerador que crece a raíz de 20dB/dec y tiene como frecuencia de corte Wc y un polinomio en el denominador que aporta 0dB para w más pequeña que Wc y -20dB/dec para w>Wc, la gráfica real del circuito crecerá desde menos infinito hasta Wc con una pendiente de 20dB/dec y a partir de Wc, aportará 0dB ya que las pendientes de la gráfica del denominador y la del numerador se cancelarán entre ellas. 

Polinomios de Segundo Orden 

Una vez tenemos claro este concepto, se introduce el concepto de H(s) con polinomio de segundo orden en el denominador, es decir, que se presenta con este formato:

Si queremos encontrar su diagrama de polos de la H(s) debemos encontrar las raíces del denominador. En el momento que efectuamos la operación matemática, vemos que las raíces del denominador dependen fundamentalmente del parámetro ro. Es en este momento donde creemos necesaria la clasificación del diagrama de polos según dicho parámetro.

• Si ro>1 : Obtenemos dos polos situados en la parte negativa del eje real
• Si ro=1:  Obtenemos un polo situado en el eje real negativo
• Si 0 < ro < 1: Obtenemos un par de polos complejos conjugados que tienen parte real negativa y parte compleja. 
• Si ro=0: Obtenemos un par de polos complejos conjugados en el eje imaginario.

¿Qué pasa en el trazado de bode?

En el momento que realizamos el trazado de Bode observamos que resulta una representación similar a la de los polinomios de primer orden pero en vez de una pendiente que decrece a razón de -20dB/dec, decrece a -40dB/dec. 

¿Es grande el error que cometemos respecto a la gráfica real?

En este caso el error que se comete depende íntegramente del parámetro ro, siguiendo esta expresión:

Si representamos la función real, observamos una especie de pico a una frecuencia concreta. A este pico que se produce, se le llama pico de resonancia, ya que a una frecuencia concreta, la frecuencia de corte,

su amplificación es máxima. 

Lunes, 29 de Abril

Con la pasada clase, en la cual acabamos de hablar sobre el tema de transformadores, cerramos una ventana del curso, que si recordamos, abrimos con el tema de los AO's, justo después de hablar de funciones de red H(s). Ahora, a finales de abril es hora de volver a retomar ese tema, y lo vamos a hacer con las llamadas curvas de respuesta frecuencial, que nos permitirán representar funciones de red de una forma extremadamente más sencilla que cómo lo hacíamos hasta ahora. 

Empezamos recordando la definición de una H(s) como cociente de polinomios positivos en 's' del cual el módulo, a una frecuencia determinada, de esta es la amplitud de la sinusoide y el argumento lo podemos obtener restando el argumento del denominador al argumento del numerador. Ya recordado el formato de la H(s), introducimos el concepto de polos-ceros. El concepto polos ceros, viene dado, por caracterizar una H(s) a partir de las raíces que anulan el numerador y el denominador. Para ello, debemos tener el coeficiente de la 's' con mayor exponente con valor la unidad, seguidamente factorizamos el numerador y denominador, de modo que las raíces del numerador se llamaran ceros y las raíces del denominador se llamaran polos. Nota: Un aspecto a tener en cuenta es que si nos aparece un raíz compleja debe estar presente, en la factorización, también su raíz compleja conjugada. Ya encontrados los polos y los ceros, podemos representar una función H(s) por su diagrama polos-ceros, tal y como podemos ver en la imagen. 

Una vez tenemos claro este concepto, se nos introduce una forma de representar la amplificación de un circuito usando el método propuesto por Henrick Wade Bode. Lo que bode propone es representar el comportamiento del circuito como veinte veces el logaritmo del modulo de la función de red. 

Por lo tanto, representaremos la ganancia en dB en función de una escala logarítmica, es decir, que las frecuencias que se encuentran separadas por una misma distancia serán proporcionales a un factor 10, es decir, separadas una década. Dicha expresión se representa de la siguiente manera: 

Del mismo modo, hayamos otra medida llamada octava, cuya separación de frecuencias es proporcional a un factor 2. Por lo tanto, el número de octavas entre dos frecuencias será el siguiente: 

Si intentamos buscar una relación entre las dos definiciones, podemos concluir que:

nº décadas= nºoctavas*sqrt(2)= nº octavas*0,3

Representación por Bode de H(s)

Seguidamente, en este apartado, vamos a expresar, algún trazado de Bode, como ejemplo. Para ello debemos, expresar lo que propone Bode y particularizarlo en los llamados circuitos asintóticos, para w=0 y w tendiendo a infinito. 

Errores

Parece que esta teoría tiene buena pinta, ya que satisface los circuitos asintóticos pero, ¿realmente es fiable? La respuesta es que sí, en el punto de máximo error, es decir, en la frecuencia que se produce el cambio, la gráfica real solo se separa 3dB de la trazada por Bode. Por lo tanto, podemos dar la teoría de Bode como buena. No obstante, hace falta añadir que para desfases, la teoría no es tan buena, el error es más considerable. 

Jueves, 25 de Abril

Hoy es de esos días lluviosos, el primero de cinco días seguidos, según predicen los meteorólogos. Sin que nos perturbe el mal tiempo, ni la huelga organizada por un colectivo de la UPC para evitar despidos, el destrozo de la enseñanza, etc., empezamos la sesión retomando el hilo del último día con la cuestión, qué aplicaciones tienen los transformadores. Como ya sabemos, los transformadores tienen muchas aplicaciones, pero las más relevantes son: cambiar voltajes e intensidades y cambiar impedancias. Precisamente, estos temas, son los que trataremos la sesión de hoy.

Cambiar voltajes e intensidades

Una aplicación clara de este dispositivo lo encontramos en las compañías eléctricas. En los enchufes de nuestras casas nos llegan 220V eficaces, de modo que la potencia que disipa nuestra casa, tratándola como una resistencia, es Pl=220·Ief. Si nos planteamos que coste tiene este subministro de energía, para la compañía eléctrica en un entorno comarcal o incluso estatal, veremos que no les es nada rentable. Los hilos de cobre por los cuales nos subministran el corriente tienen una resistencia interna que, evidentemente, disipa calor. Este calor es expresado en potencia según la siguiente expresión: Pp=2·(Ief^2)·RL, donde el factor dos aparece ya que las lineas de transporte tienen ida y vuelta. 

La solución al problema recae en la conversión de voltaje a través de un par de transformadores. La compañía proporciona a la redun voltaje de 220Vef que, mediante un transformador, son convertidos a una alta tensión de 22.000Vef, seguidamente viajan a miles de kilómetros  pero ahora con unas pérdidas mucho menores, ya que la intensidad se ha dividido por un factor n=10^6. Seguidamente, antes de entrar en las ciudades, este voltaje es convertido a 220Vef, mediante otro transformador. Otra solución recae en colocar un condensador en paralelo con la resistencia, ya que absorbería corriente, pero no disiparía potencia. No obstante, esta opción está prohibida por las compañías, mediante contrato de usuario, ya que les supone un coste muy elevado.

Cambiar impedancias

Si recordamos como introducimos, en una entrada anterior, el tema de los transformadores era, justamente, que era un dispositivo que permitía cambiar la impedancia de un bipolo conectado a uno de sus extremos. Por lo tanto, lo único que debemos hacer, aparentemente, es conectar en los extremos del transformador perfecto el bipolo que queremos convertir, tendiendo en cuenta la siguiente relación:

RL=(N1/N2)^2=Rin

Lamentablemente no es tan sencillo. Si consultamos nuestros apuntes sobre el transformador perfecto, veremos que en el modelaje del circuito aparece una inductancia conectada en paralelo. A simple vista, tampoco parece una complicación tan difícil de resolver, y así es, una solución es conectar un condensador en paralelo con la bobina, de modo que a la frecuencia que trabaja el circuito su impedancia se haga infinita. Otra solución que se propone, es insertar una bobina de un valor tan elevado que se comporte como un circuito abierto. Para eso, debemos tener en cuenta la relación: L=K*(N1)^2, donde el parámetro K se definió en una entrada anterior.

Transferencia de Máxima Potencia

Una finalidad bastante frecuente en el momento que se modela un circuito es sacar del generador la máxima potencia para suministrarla en un resistor. Para ello, la condición necesaria consiste en conectar una resistencia de mismo valor a la resistencia interna del generador, que acostumbra a ser de 50 Ohmios. Con esta condición, obtenemos la siguiente expresión:

P=(|fasor Vg|^2)/(8Rg)

En el caso que el circuito este compuesto por elementos que no sean resistivos, y queramos una transferencia de máxima potencia, se deben cancelar estos elementos conectando una impedancia equivalente a la del circuito compleja conjugada.

Lunes, 22 de Abril

El último día estuvimos viendo un dispositivo, llamado transformador ideal, que tenía unas propiedades algebraicas muy interesantes, pero que al mismo tiempo parecían muy idílicas. La sesión de hoy va ligada a la clase del otro día, no obstante, en este caso,  lo que vamos a ver es un elemento de la vida real, que de forma muy similar, cumple esas condiciones. 

Empezamos la sesión con algún circuito con transformadores en el cual se debe buscar la potencia de salida. Aprovechando uno de estos ejemplos, introducimos una nueva forma de resolver los circuitos con transformadores consistente en usar el circuito equivalente de Thévenin. El método consiste en sustituir el circuito de la entrada por su equivalente de Thévenin y de este modo, encontrar directamente la tensión de salida sin tener que buscar impedancias equivalentes, deshacer cambios, etc. Ya puestos en contexto otra vez sobre el funcionamiento del transformador ideal, vamos a profundizar un poco más sobre este dispositivo.

¿Existe algún dispositivo real modelable mediante el transformador ideal?

La respuesta es NO, pero hay un dispositivo, llamado transformador perfecto, que se le asemeja bastante. Este elemento consiste en un solenoide enrollado en un material ferromagnético, de modo que el modelaje de este circuito es el siguiente: 

Este modelaje es debido a la forma de construcción de este elemento. Si nosotros cogemos un solenoide, lo enrollamos en un material ferromagnético y lo excitamos con una tensión, dentro de este material ferromagnético circulará un corriente que cumple las leyes de Ampère del electromagnetismo. De este modo, lo que tenemos no es nada mas que una bobina enrollada. En el momento que le enrollamos, en el mismo material, otro solenoide, pero en este caso, en circuito abierto, constituimos el transformador. Para una demostración algebraica detallada, consultar las páginas 40-43 de este libro. En todo caso, lo que obtenemos es un dispositivo cuya relación de transformación es:

n=sqrt(L1/L2)= N1/N2 

Características importantes

•  El dispositivo en continua no funciona
•  El coeficiente de autoinducción de la bobina depende de la geometría y de la permeabilidad del material, rigiendo esta expresión.

Simbología

¿Por qué necesitamos un material ferromagnético?

La respuesta a la pregunta la vamos a demostrar con un ejemplo. Como hemos descrito anteriormente, para que este transformador funcione, necesitamos un material de alta permeabilidad magnética y aislante, como por ejemplo la ferrita. Si nosotros queremos construir un transformador casero, cogemos una espira y la enrollamos alrededor de un tornillo o un clavo de hierro, el efecto que se produce es el siguiente: como el hierro del clavo no es un material ferromagnético, se comporta como una espira en cortocircuito y por lo tanto si midiéramos la tensión en la salida de nuestro transformador veríamos que V=0. En consecuencia, la solución es encontrar un elemento que tenga características metálicas, para que sea buen conductor, pero que al mismo tiempo sea aislante. 

Curiosidades

Aprovechando estas características del transformador, la humanidad ha creado grandes inventos:

• El buscaminas: El buscaminas utiliza el sistema comentado anteriormente. El aparato que detecta minas esta formado por un generador de tensión, una resistencia y medio transformador, de modo que, cuando encuentra un elemento metálico, se crea un transformador en cortocircuito y  la tensión de salida es nula. 
• Detector de coches: El sistema de detección de coches funciona exactamente igual al anterior. En el momento que se acerca un coche a la inductancia, se crea un transformador en cortocircuito y la tensión de salida vuelve a ser cero. 
• Sistema antirobo: El sistema antirobo de las tiendas esta constituido de la siguiente forma: Los arcos situados en la salida están formados por un generador sinusoidal, una resistencia y una inductancia, en cambio, los chips de dentro los libros están formados por otra inductancia, un fusible y un condensador. En este caso, en vez de cortocircuitar el transformador, se juega con la frecuencia de resonancia entre la bobina y el condensador, de modo que cuando el objeto pasa por los arcos, el circuito entra en resonancia, la tensión de salida es máxima y se activan las alarmas. Si en vez de robarlo, somos éticos y se lo damos al cajero este le aplica una tensión muy alta que peta el fusible y por lo tanto la alarma ya no se activa.

De este modo, un día antes de St. Jordi, festividad muy importante en Cataluña, terminamos la sesión de esta semana.

Jueves, 18 de Abril

Empezamos la sesión recordando el tema que nos ocupó toda la clase anterior: Las líneas de transmisión. Si recordamos las condiciones necesarias para que este elemento funcionara, percataremos que era obligatorio conectar un elemento al final de la linea que tubiera un impedancia equivalente igual a la impedancia equivalente de la línea, hecho que nos induce a tener una limitación conectando elementos. No obstante, a grandes males, grandes remedios. Los teóricos de circuitos nos dicen: busca un elemento que te permita tener una resistencia de valor arbitrario, pero que de cara al circuito, tenga la misma impedancia que la línea. Al mismo tiempo, la solución que nos proponen consiste en investigar que son y que utilidad tienen los transformadores. 

El transformador ideal o conversor positivo de impedancias (CPI)

La teoría del generador ideal consiste en un elemento que dada una excitación en la entrada te de una excitación en la salida multiplicada por un factor n, que corresponde al numero de espiras, y que dada una intensidad de entrada te de en la salida, una intensidad cambiada de signo y dividida por el factor n. Algebraicamente, expresado de este modo:

V1=nV2   ;  nI1=-I2

¿Qué pasa si conectamos un bipolo a la salida del CPI?

Si conectamos un bipolo a la salida del CPI lo que ve el circuito de la entrada es este bipolo de impedancia ZL multiplicado por el factor n^2. Particularizando en algunos elementos, el condensador se ve en la entrada como una capacitancia de valor C/(n^2), la bobina se ve como una inductancia de valor L*(n^2)y la resistencia se ve como un resistor de valor R*(n^2). 

Potencia en un CPI

Una propiedad importante e interesante del CPI es que la potencia subministrada en la entrada es igual a la potencia de salida del transformador.

Simbología

Análisis

El método de análisis de circuitos con transformadores es muy metódico, por lo tanto se puede realizar mediante estos pasos:

1. Buscar el bipolo equivalente de la salida del generador
2. Conectar este bipolo equivalente en el circuito de la entrada multiplicado por el factor n^2
3. Buscar la tensión de salida de este circuito
4. Deshacer el cambio y encontrar la tensión al otro lado del generador dividiendolo por el factor n 

Para finalizar la clase, se plantea algún ejercicio sobre este tema, que a priori, parece que puede solucionar el problema que teníamos con las líneas de transmisión. No obstante, no debemos olbidar que estamos tratando con un transformador ideal, por lo tanto, probablemente en la vida real no cumpla todas estas propiedades.

Lunes, 15 de Abril

El primer día de clase enmarcamos el ámbito de estudio a unos circuitos que no pasaban de una cierta medida ya que sino no cumplían las leyes de Kirchoff y se debían analizar por las ecuaciones de Maxwell. En la sesión de hoy, veremos un tipo de cable que permite interconectar dispositivos sin violar dichas leyes: Las lineas de transmisión.

Las líneas de transmisión son cables formados por cobre distribuido de forma coaxial, es decir, una cobertura recubriendo la malla y un hilo en el centro de la malla, y una malla interior flexible. Esta formación tan particular se puede describir con lo que llamaremos el circuito clave de las líneas de transmisión. Este circuito esta formado por los elementos que podemos ver a continuación, una bobina y una resistencia y un condensador conectados en paralelo. La ficha de diseño para que nuestra premisa se cumpla es la siguiente:

1- Zin=sqrt(L/C) <-> RL=sqrt(L/C)

2- |fasor Vo|=|fasor Vg|

3- argVo-argVg=sqrt(L·C)·2·PI·fo

De este modo, lo que obtenemos es una zona de validez para frecuencias pequeñas y, además, analizando el circuito, obtenemos que Pin=PL.

¿Por qué este circuito, con esta ficha técnica, es la solución al problema?

Si se cumplen estas condiciones, lo que conseguimos es "acercar" la resistencia RL como si estuviera conectada justo a la salida del generador. Por lo tanto, si conectáramos esa combinación de bobinas y condensadores indefinidamente y una resistencia al final, esta, de cara al circuito, sería como si estuviera conectada a la salida del generador. Si prestamos atención, veremos que este circuito funciona para frecuencias relativamente bajas, por lo que ha frecuencias muy altas, como la radio no funcionaría.

¿Cómo podemos conseguir Condensadores y Bobinas de valor pequeño?

La solución recae en conectar en un extremo entre dos placas metálicas de anchura W y separadas una altura H un generador y al otro extremo de las placas una resistencia de valor R. De este modo, conseguimos que entre las dos placas aparezca un efecto capacitivo y que internamente en cada placa parezca un efecto inductivo. A esta capacidad la llamaremos Capacidad distribuida (Cd) y la expresaremos de la siguiente forma (expresión) y a esta inductancia la llamaremos Inductancia distribuida (Ld) y la expresaremos de la siguiente forma (expresión).

Por lo tanto, para que el sistema funcione necesitamos que la Impedancia característica de la linea de transmisión sea de igual valor que la resistencia que conectamos en el extremo. Esta impedancia característica es Zo=sqrt(Ld/Cd) y tiene un desfase asociado FI=-sqrt(Ld·Cd)·2PI·fo·l. Como curiosidad, las impedancias características de las lineas de transmisión suelen tener unos valores prefijados de Zo=50 Ohmios o Zo=72 Ohmios, cuyo último valor corresponde al de la televisión.

Pérdidas

Las lineas de transmisión de las que hemos hablado ahora son ideales, no tienen pérdidas, pero como todos sabemos, nada es perfecto. Todas las líneas de transmisión tienen asociadas unas perdidas que dependen de la frecuencia a la que trabajen. Curiosamente, la expresión que relaciona las pérdidas tiene que ver con la expresión comentada la sesión anterior sobre dB y dBm, hecho que nos permite entender el estudio del señor Bell para encontrar una expresión que relacionara estas dos magnitudes. La expresión es la siguiente: PL(dBm)=Pin(dBm)-G(dB), a esta expresión se la conoce como ecuación de la línea de transmisión.

Para terminar, se resuelven un par de ejercicios y se explica como medir la impedancia Zo de una línea de transmisión. Si nosotros cogemos un Ohómetro y conectamos sus terminales a los bordes de la línea de transmisión, observaremos que la Impedancia es infinita. Esto es debido a que el concepto de impedancia se refiere a que ese cable tendría ese valor de tantos Ohmios solo si tuviera una longitud infinita. Por lo tanto, solo podremos medir la impedancia de ese cable cuando esté conectado a un circuito.

Jueves, 11 de Abril

En la última sesión, descubrimos como calcular valores medios, valores eficaces y potencias medias de una excitación cualquiera. Retomando estos conceptos, se empieza la clase introduciendo el concepto de potencia media suministrada en un bipolo. 

Si recordamos la teoría dada en clase, los bipolos pueden estar formados por asociaciones de resistores, condensadores o bobinas. Pues en el caso de la potencia, de todos estos elementos, solo en los resistores se disipa potencia. Por lo tanto, si buscamos una expresión que nos permita calcular esta potencia media disipada, obtenemos la siguiente expresión. Seguidamente, se realizan una serie de ejercicios relacionados con este concepto y posteriormente, se plantea la cuestión: ¿ Qué pasa si hay dos excitaciones de diferente frecuencia alimentando el mismo circuito? Si buscamos en los apuntes de la última sesión, veremos que no se puede aplicar el método de superposición cuando teníamos dos excitaciones de la misma frecuencia. En este caso, cuando tenemos dos excitaciones de diferente frecuencia alimentando el mismo circuito, sí que podemos aplicar superposición para resolver el circuito. Por lo tanto, la expresión que obtenemos de la potencia disipada por un resistor en un circuito de estas características es la siguiente. 

Para terminar la clase, se introducen dos modos de medir potencias: los Decibelios (dB) y una medida muy común en la ingeniería de telecomunicaciones, los dBm. Los decibelios fue un concepto creado por Alexander Graham Bell, definido por la siguiente expresión que relaciona la potencia de salida del circuito con la de entrada (relación). Los dBm es una unidad parecida a los dB pero en vez de relacionar la potencia de salida con la de entrada, relaciona cualquier potencia con un factor 10^-3. De modo, que obtenemos la siguiente expresión. Tras presentar esta nueva forma de medir potencias, se realiza un ejercicio y descubrimos la gran utilidad que tiene esta nueva unidad. La gracia de estas unidades es que se pueden sumar entre ellas de modo que Pl(dBm)=G(dB)+Pin(dBm).

Lunes, 8 de Abril

Empezamos la clase con un circuito formado por una excitación sinusoidal, que podemos grabar con Audacity, un AO, en función de comparador, polarizado a tierra y 5V, hecho que nos permite polarizarlo con la entrada USB de nuestro ordenador, un divisor de tensión con un umbral de 0,7V y una conexión remota, que nos permite encender un LED desde cualquier parte del mundo. No obstante, el tema de funcionamiento de este sistema lo veremos reflejado con detalle en la sesión de Laboratorio de esta semana. Seguidamente, se nos presenta un modelo circuital que permite un ajuste del valor resistivo muy preciso, consistente en una asociación en serie de potenciómetros, para determinar, por ejemplo,  frecuencias de corte en un filtro paso bajo. Finalmente, antes de entrar en lo que va a ser la esencia de la sesión, vemos las ventajas e inconvenientes de las fuentes dependientes de tensión controladas por tensión y las fuentes de corriente controladas por tensión en transistores, hecho que tratamos bastante por encima, ya que el transistor tiene un comportamiento no lineal, fenómeno que escapa de nuestro marco de estudio.

A continuación, tras cerrar esta introducción y elaborar un breve resumen de lo que habíamos tratado hasta ahora, se presenta un nuevo tema del que todos hemos oído hablar, pero que, como en todo, teníamos un gran vacío, nos referimos al término potencia.

Definición: La potencia eléctrica es la relación de paso de energía de un flujo por unidad de tiempo; es decir, la cantidad de energía entregada o absoribida por un elemento e un tiempo determinado. La unidad en el Sistema Internacional de Unidades es el vatio (Watt).

Seguidamente, profundizamos más y nos planteamos que significa eso  de potencia media que vemos en muchos aparatos electrónicos. Para eso, es necesario conocer qué son los descriptores parciales para, tras una explicación teórica, acabar hallando este concepto.  

-          Valor Medio: Definimos el valor medio de una excitación v(t), como el método que permite, a partir de una excitación que no sea bipolar acotada por un intervalo de tiempo, la representación de esta excitación acotada a partir de una única tensión continua.(Fórmula)

-          Valor eficaz o Valor cuadrático medio (RMS): Definimos el valor eficaz de una excitación v(t), como el método que permite, a partir de una excitación, bipolar o no, acotada por un intervalo de tiempo, la representación de esta excitación acotada a partir de una única tensión continua. (Fórmula)

-          Potencia media: Definimos la potencia media de una excitación v(t), como el valor que nos permite obtener una representación de la energía disipada por intervalo de tiempo.(Fórmulas 1-2-3)

    Una vez se tiene claros estos conceptos, se presentan unos cuantos ejercicios sobre estos tema para practicar.

Para finalizar, como curiosidad, vamos a explicar que son los tester que miden el verdadero valor eficaz. El cálculo del valor eficaz, mayoritariamente, se puede obtener dividiendo por un factor raíz de dos la amplitud de la entrada, pero no siempre es así. Muchos tester lo que hacen es justamente eso, cogen la amplitud de la señal de entrada y la dividen por raíz de dos, pero los que miden el verdadero valor eficaz, están formados por los  bloques que vemos en la imagen, que son difíciles de implementar, por lo que el producto requiere un precio elevado.

Viernes, 4 de Abril

Hoy jueves, cuarto día de esta semana más corta de lo habitual, debido a la festividad del lunes de Pascua, empezamos la clase con el tema que se introdujo el último día, los AO’s funcionando como comparadores. Si hacemos un flashback de la primera sesión de AO’s, se comentó que era necesaria la retroalimentación del circuito para el funcionamiento en zona de validez del AO y para que se pudiera analizar el circuito con el método del corto circuito virtual, en caso contrario, el AO no trabajaba en la zona de validez sino que lo hacía en zona de saturación. A continuación, damos una vuelta de tuerca más, y veremos que utilidades le podemos sacar al AO cuando trabaja en esta zona.

Definición

El comportamiento del AO, sin retroalimentación, se puede describir perfectamente a partir de la siguiente ecuación Vo=Vsat·sign(V₊ - V_-), donde la función Signum vale 1 cuando la diferencia es positiva y vale -1 cuando la diferencia es negativa.

¿Qué utilidades podemos sacar de este modo de funcionamiento?

1         Encender un LED

2         Encender un LED transcurrido un cierto tiempo

3         Crear una función cuadrada con excitación positiva y negativa de igual tiempo

4         Crear una función cuadrada con excitación positiva y negativa de diferente tiempo (PWM).

5         Crear una puerta NAND (dibujo)

En la presentación de la cuarta utilidad, se introduce un nuevo concepto llamado ciclo de trabajo (τ=(Ton/Toff)·100), que relaciona estas diferencias de tiempo en las excitaciones. En el caso de la excitación cuadrada, el ciclo de trabajo es del 50%, ya que el tiempo de excitación positiva y negativa es el mismo.

Detalles con AO’s

Después de bastantes clases dedicadas a este dispositivo, se termina este bloque con algunos detalles de este elemento.

¿Por qué es necesaria la retroalimentación negativa?

La retroalimentación negativa en AO’s nos produce una situación de equilibrio estable, es decir, una derivada negativa.  Vamos a ilustrar, de forma sencilla, lo que queremos demostrar con un ejemplo.

Ejemplo: Tenemos una función de red H(s)=1/(s+a). Desarrollamos esta función de modo que nos quede Vo·s+a·Vo=Vg, que es lo mismo que dVo/dt + aVo = Vg, si volvemos antes de conocer el CTF y empramos las EDOS. Seguidamente imponemos que Vg=0, de modo que nos queda dVo/dt = -aVo, por lo tanto al tener una derivada negativa, cualquier perturbación en Vo, tiende a la estabilidad en 0. En cambio, si la expresión fuera dVo/dt = aVo, cualquier perturbación en Vo tiende a aumentar, como si de una bola de nieve se tratara.

Entonces, la conclusión que sacamos es que en una grafica de un AO con retroalimentación positiva y una excitación de entrada Vg=0, veríamos como tiende a saturarse, por este efecto bucle.

Para finalizar la clase, se explica cómo construir un AO con una sola polarización, de modo que, de cara a sacarlo al mercado, se ahorre una batería y sea un producto mucho más competitivo que uno que lleve dos baterías. 

Martes, 2 de Abril

¡Volvemos de Semana Santa! Se ha acabado levantarse a cualquier hora, las comidas familiares donde uno come más que una vaca tras un mes de régimen, las monas de Pascua… Es hora de volver al trabajo. Hoy es un día inusual ya que es martes pero al mismo tiempo es lunes según el horario de la UPC, por lo tanto algunos se formulan la pregunta del millón: ¿Entonces el sábado es viernes?

Empezamos la clase con un breve recordatorio de cómo resolvemos circuitos con AO’s e introducimos un nuevo concepto para verificar resultados que consiste en buscar un parecido al circuito, tomando como referencia esos circuitos que llamábamos modelo (restador, inversor, etc.), y hacer desaparecer, mediante tendencias a infinito o cero, ese elemento que distorsiona la similitud. Seguidamente, se introduce un nuevo concepto de diseño de circuitos mediante bloques funcionales con AO’s (restador, multiplicador, integrador e inversor). Este sistema consiste en usar los bloques modelo para obtener fuentes de tensión ideales como salida y así poder alimentar otros circuitos.

   

Ejemplo: Si queremos una salida Vo=3Vg1+2Vg2, nos bastará con tener un bloque funcional que nos multiplique la entrada Vg1 por tres, un bloque funcional que nos multiplique la entrada Vg2 por dos, seguido de un bloque que invierta el signo del bloque anterior, para que cuando usemos el bloque restador, conectando el bloque de Vg2 al canal negativo, nos salga la operación suma.

A continuación y durante la mayor parte de la sesión, se realizan algunos ejemplos sobre lo explicado anteriormente, de los cuales destacaremos como diseñar, mediante este sistema, funciones de red H(s). La estrategia a seguir consiste en aislar, de la función de red, el termino Vo con mayor exponente.

Ejemplo: Partimos de la función de red H(s)=1/(s+a) y aislamos según la estrategia. Una vez obtenida la ecuación, empezamos dibujando el termino aislado, seguidamente lo dividimos entre s (circuito integrador), luego, de esa salida sacamos un bloque multiplicador (circuito no inversor, en el caso que a>=1) y finalmente lo llevamos a la pata negativa del circuito restador. Como vemos nos queda conectar la salida del restador. Si prestamos atención, podemos unir la salida del restador con la caja que divide por s ya que así nos indica la ecuación.

Para finalizar con la clase de hoy, se introduce la utilidad de los AO’s funcionando como comparador, pero como se ha comentado, es una simple introducción, el tema se tratará en profundidad la próxima sesión. 

Lunes, 18 de Marzo

¡Ya llega! Última clase antes de Semana Santa, ya que el jueves no hay clase a causa de la fiesta de día que organiza la facultad de Telecomunicaciones (ETSETB).  La clase de hoy viene cargada, se deben poner los cinco sentidos en la pizarra y aún así, te faltan sentidos… ¡El ritmo es frenético!

La sesión empieza con una dosis de ejemplos de circuitos con AO’s. De estos, algunos son para coger rodaje sobre el análisis de circuitos con este dispositivo, otros son esquemas clave para el montaje de circuitos, por ejemplo:

-          Circuito restador: Obtenemos una respuesta que es la resta de las dos fuentes independientes (Vo= Vg1-Vg2).

Entre ejemplos, se presenta  la definición de Conexión Cascada, que es la conexión de más de un AO en un circuito, y a partir de esto descubrimos un par de esquemas más:

-          Circuito sumador: Obtenemos una respuesta que es la suma de las dos fuentes independientes (Vo= Vg1+Vg2).

-          Circuito derivador: Obtenemos una respuesta que es la función derivada de la señal de la entrada (Vo=dVg(t)/dt).

-          Circuito integrador: Obtenemos una respuesta que es la función integral de la señal de la entrada (dVo=Vg(t)/dt).

De ese modo, ya podemos comprender porque el AO se le llama también operacional, que es la pregunta que dejamos en el aire en la pasada entrada del blog, es operacional debido a que es un dispositivo que permite efectuar operaciones (sumar, restar, derivar e integrar).

Seguidamente, tras presentar estos esquemas, se procede a explicar el análisis metódico de circuitos con AO’s. El procedimiento es fácil si se entendió el  análisis metódico de circuitos normales, ya que los circuitos con AO’s usan la misma técnica con la única diferencia que se debe añadir una ecuación más: V+=V- y que no se debe hacer KCL en el nodo conectado al terminal de salida ni en el terminal de entrada no inversor.  

Para finalizar la clase, se presentan algunos aspectos útiles en el diseño de circuitos con AO’s. Algunos circuitos presentan una resistencia de entrada infinita, es decir, que no hay resistencia entre la excitación de entrada y el terminal de entrada no inversor, otros, presentan una resistencia de entrada finita, que son aquellos que presentan una resistencia entre la excitación de entrada y el terminal de entrada no inversor. Es necesario tener un cierto cuidado en el momento de conectar en cascada este último tipo, ya que al presentar una resistencia de entrada, modifican el KCL del nodo de conexión entre circuitos. Por eso, hay un modelo, llamado Seguidor de Tensión, que consiste en un circuito de Amplificación=1 que no altera el corriente del KCL de conexión y permite una óptima interconexión.

Tras este último punto, un último concepto relacionado a la construcción de una resistencia a través de AO`s y se termina la clase. Solo falta desear: ¡Buenas Vacaciones a todos!