Jueves, 2 de Mayo

Retomamos el hilo de la clase anterior, con un par de ejercicios sobre trazados de Bode y vemos claramente a que se refería este señor cuando decía que la respuesta del circuito es la suma punto a punto de cada termino de los polinomios que forman la H(s). Por ejemplo: Si tenemos un polinomio en el numerador que crece a raíz de 20dB/dec y tiene como frecuencia de corte Wc y un polinomio en el denominador que aporta 0dB para w más pequeña que Wc y -20dB/dec para w>Wc, la gráfica real del circuito crecerá desde menos infinito hasta Wc con una pendiente de 20dB/dec y a partir de Wc, aportará 0dB ya que las pendientes de la gráfica del denominador y la del numerador se cancelarán entre ellas. 

Polinomios de Segundo Orden 

Una vez tenemos claro este concepto, se introduce el concepto de H(s) con polinomio de segundo orden en el denominador, es decir, que se presenta con este formato:

Si queremos encontrar su diagrama de polos de la H(s) debemos encontrar las raíces del denominador. En el momento que efectuamos la operación matemática, vemos que las raíces del denominador dependen fundamentalmente del parámetro ro. Es en este momento donde creemos necesaria la clasificación del diagrama de polos según dicho parámetro.

• Si ro>1 : Obtenemos dos polos situados en la parte negativa del eje real
• Si ro=1:  Obtenemos un polo situado en el eje real negativo
• Si 0 < ro < 1: Obtenemos un par de polos complejos conjugados que tienen parte real negativa y parte compleja. 
• Si ro=0: Obtenemos un par de polos complejos conjugados en el eje imaginario.

¿Qué pasa en el trazado de bode?

En el momento que realizamos el trazado de Bode observamos que resulta una representación similar a la de los polinomios de primer orden pero en vez de una pendiente que decrece a razón de -20dB/dec, decrece a -40dB/dec. 

¿Es grande el error que cometemos respecto a la gráfica real?

En este caso el error que se comete depende íntegramente del parámetro ro, siguiendo esta expresión:

Si representamos la función real, observamos una especie de pico a una frecuencia concreta. A este pico que se produce, se le llama pico de resonancia, ya que a una frecuencia concreta, la frecuencia de corte,

su amplificación es máxima. 

Lunes, 29 de Abril

Con la pasada clase, en la cual acabamos de hablar sobre el tema de transformadores, cerramos una ventana del curso, que si recordamos, abrimos con el tema de los AO's, justo después de hablar de funciones de red H(s). Ahora, a finales de abril es hora de volver a retomar ese tema, y lo vamos a hacer con las llamadas curvas de respuesta frecuencial, que nos permitirán representar funciones de red de una forma extremadamente más sencilla que cómo lo hacíamos hasta ahora. 

Empezamos recordando la definición de una H(s) como cociente de polinomios positivos en 's' del cual el módulo, a una frecuencia determinada, de esta es la amplitud de la sinusoide y el argumento lo podemos obtener restando el argumento del denominador al argumento del numerador. Ya recordado el formato de la H(s), introducimos el concepto de polos-ceros. El concepto polos ceros, viene dado, por caracterizar una H(s) a partir de las raíces que anulan el numerador y el denominador. Para ello, debemos tener el coeficiente de la 's' con mayor exponente con valor la unidad, seguidamente factorizamos el numerador y denominador, de modo que las raíces del numerador se llamaran ceros y las raíces del denominador se llamaran polos. Nota: Un aspecto a tener en cuenta es que si nos aparece un raíz compleja debe estar presente, en la factorización, también su raíz compleja conjugada. Ya encontrados los polos y los ceros, podemos representar una función H(s) por su diagrama polos-ceros, tal y como podemos ver en la imagen. 

Una vez tenemos claro este concepto, se nos introduce una forma de representar la amplificación de un circuito usando el método propuesto por Henrick Wade Bode. Lo que bode propone es representar el comportamiento del circuito como veinte veces el logaritmo del modulo de la función de red. 

Por lo tanto, representaremos la ganancia en dB en función de una escala logarítmica, es decir, que las frecuencias que se encuentran separadas por una misma distancia serán proporcionales a un factor 10, es decir, separadas una década. Dicha expresión se representa de la siguiente manera: 

Del mismo modo, hayamos otra medida llamada octava, cuya separación de frecuencias es proporcional a un factor 2. Por lo tanto, el número de octavas entre dos frecuencias será el siguiente: 

Si intentamos buscar una relación entre las dos definiciones, podemos concluir que:

nº décadas= nºoctavas*sqrt(2)= nº octavas*0,3

Representación por Bode de H(s)

Seguidamente, en este apartado, vamos a expresar, algún trazado de Bode, como ejemplo. Para ello debemos, expresar lo que propone Bode y particularizarlo en los llamados circuitos asintóticos, para w=0 y w tendiendo a infinito. 

Errores

Parece que esta teoría tiene buena pinta, ya que satisface los circuitos asintóticos pero, ¿realmente es fiable? La respuesta es que sí, en el punto de máximo error, es decir, en la frecuencia que se produce el cambio, la gráfica real solo se separa 3dB de la trazada por Bode. Por lo tanto, podemos dar la teoría de Bode como buena. No obstante, hace falta añadir que para desfases, la teoría no es tan buena, el error es más considerable. 

Jueves, 25 de Abril

Hoy es de esos días lluviosos, el primero de cinco días seguidos, según predicen los meteorólogos. Sin que nos perturbe el mal tiempo, ni la huelga organizada por un colectivo de la UPC para evitar despidos, el destrozo de la enseñanza, etc., empezamos la sesión retomando el hilo del último día con la cuestión, qué aplicaciones tienen los transformadores. Como ya sabemos, los transformadores tienen muchas aplicaciones, pero las más relevantes son: cambiar voltajes e intensidades y cambiar impedancias. Precisamente, estos temas, son los que trataremos la sesión de hoy.

Cambiar voltajes e intensidades

Una aplicación clara de este dispositivo lo encontramos en las compañías eléctricas. En los enchufes de nuestras casas nos llegan 220V eficaces, de modo que la potencia que disipa nuestra casa, tratándola como una resistencia, es Pl=220·Ief. Si nos planteamos que coste tiene este subministro de energía, para la compañía eléctrica en un entorno comarcal o incluso estatal, veremos que no les es nada rentable. Los hilos de cobre por los cuales nos subministran el corriente tienen una resistencia interna que, evidentemente, disipa calor. Este calor es expresado en potencia según la siguiente expresión: Pp=2·(Ief^2)·RL, donde el factor dos aparece ya que las lineas de transporte tienen ida y vuelta. 

La solución al problema recae en la conversión de voltaje a través de un par de transformadores. La compañía proporciona a la redun voltaje de 220Vef que, mediante un transformador, son convertidos a una alta tensión de 22.000Vef, seguidamente viajan a miles de kilómetros  pero ahora con unas pérdidas mucho menores, ya que la intensidad se ha dividido por un factor n=10^6. Seguidamente, antes de entrar en las ciudades, este voltaje es convertido a 220Vef, mediante otro transformador. Otra solución recae en colocar un condensador en paralelo con la resistencia, ya que absorbería corriente, pero no disiparía potencia. No obstante, esta opción está prohibida por las compañías, mediante contrato de usuario, ya que les supone un coste muy elevado.

Cambiar impedancias

Si recordamos como introducimos, en una entrada anterior, el tema de los transformadores era, justamente, que era un dispositivo que permitía cambiar la impedancia de un bipolo conectado a uno de sus extremos. Por lo tanto, lo único que debemos hacer, aparentemente, es conectar en los extremos del transformador perfecto el bipolo que queremos convertir, tendiendo en cuenta la siguiente relación:

RL=(N1/N2)^2=Rin

Lamentablemente no es tan sencillo. Si consultamos nuestros apuntes sobre el transformador perfecto, veremos que en el modelaje del circuito aparece una inductancia conectada en paralelo. A simple vista, tampoco parece una complicación tan difícil de resolver, y así es, una solución es conectar un condensador en paralelo con la bobina, de modo que a la frecuencia que trabaja el circuito su impedancia se haga infinita. Otra solución que se propone, es insertar una bobina de un valor tan elevado que se comporte como un circuito abierto. Para eso, debemos tener en cuenta la relación: L=K*(N1)^2, donde el parámetro K se definió en una entrada anterior.

Transferencia de Máxima Potencia

Una finalidad bastante frecuente en el momento que se modela un circuito es sacar del generador la máxima potencia para suministrarla en un resistor. Para ello, la condición necesaria consiste en conectar una resistencia de mismo valor a la resistencia interna del generador, que acostumbra a ser de 50 Ohmios. Con esta condición, obtenemos la siguiente expresión:

P=(|fasor Vg|^2)/(8Rg)

En el caso que el circuito este compuesto por elementos que no sean resistivos, y queramos una transferencia de máxima potencia, se deben cancelar estos elementos conectando una impedancia equivalente a la del circuito compleja conjugada.

Lunes, 22 de Abril

El último día estuvimos viendo un dispositivo, llamado transformador ideal, que tenía unas propiedades algebraicas muy interesantes, pero que al mismo tiempo parecían muy idílicas. La sesión de hoy va ligada a la clase del otro día, no obstante, en este caso,  lo que vamos a ver es un elemento de la vida real, que de forma muy similar, cumple esas condiciones. 

Empezamos la sesión con algún circuito con transformadores en el cual se debe buscar la potencia de salida. Aprovechando uno de estos ejemplos, introducimos una nueva forma de resolver los circuitos con transformadores consistente en usar el circuito equivalente de Thévenin. El método consiste en sustituir el circuito de la entrada por su equivalente de Thévenin y de este modo, encontrar directamente la tensión de salida sin tener que buscar impedancias equivalentes, deshacer cambios, etc. Ya puestos en contexto otra vez sobre el funcionamiento del transformador ideal, vamos a profundizar un poco más sobre este dispositivo.

¿Existe algún dispositivo real modelable mediante el transformador ideal?

La respuesta es NO, pero hay un dispositivo, llamado transformador perfecto, que se le asemeja bastante. Este elemento consiste en un solenoide enrollado en un material ferromagnético, de modo que el modelaje de este circuito es el siguiente: 

Este modelaje es debido a la forma de construcción de este elemento. Si nosotros cogemos un solenoide, lo enrollamos en un material ferromagnético y lo excitamos con una tensión, dentro de este material ferromagnético circulará un corriente que cumple las leyes de Ampère del electromagnetismo. De este modo, lo que tenemos no es nada mas que una bobina enrollada. En el momento que le enrollamos, en el mismo material, otro solenoide, pero en este caso, en circuito abierto, constituimos el transformador. Para una demostración algebraica detallada, consultar las páginas 40-43 de este libro. En todo caso, lo que obtenemos es un dispositivo cuya relación de transformación es:

n=sqrt(L1/L2)= N1/N2 

Características importantes

•  El dispositivo en continua no funciona
•  El coeficiente de autoinducción de la bobina depende de la geometría y de la permeabilidad del material, rigiendo esta expresión.

Simbología

¿Por qué necesitamos un material ferromagnético?

La respuesta a la pregunta la vamos a demostrar con un ejemplo. Como hemos descrito anteriormente, para que este transformador funcione, necesitamos un material de alta permeabilidad magnética y aislante, como por ejemplo la ferrita. Si nosotros queremos construir un transformador casero, cogemos una espira y la enrollamos alrededor de un tornillo o un clavo de hierro, el efecto que se produce es el siguiente: como el hierro del clavo no es un material ferromagnético, se comporta como una espira en cortocircuito y por lo tanto si midiéramos la tensión en la salida de nuestro transformador veríamos que V=0. En consecuencia, la solución es encontrar un elemento que tenga características metálicas, para que sea buen conductor, pero que al mismo tiempo sea aislante. 

Curiosidades

Aprovechando estas características del transformador, la humanidad ha creado grandes inventos:

• El buscaminas: El buscaminas utiliza el sistema comentado anteriormente. El aparato que detecta minas esta formado por un generador de tensión, una resistencia y medio transformador, de modo que, cuando encuentra un elemento metálico, se crea un transformador en cortocircuito y  la tensión de salida es nula. 
• Detector de coches: El sistema de detección de coches funciona exactamente igual al anterior. En el momento que se acerca un coche a la inductancia, se crea un transformador en cortocircuito y la tensión de salida vuelve a ser cero. 
• Sistema antirobo: El sistema antirobo de las tiendas esta constituido de la siguiente forma: Los arcos situados en la salida están formados por un generador sinusoidal, una resistencia y una inductancia, en cambio, los chips de dentro los libros están formados por otra inductancia, un fusible y un condensador. En este caso, en vez de cortocircuitar el transformador, se juega con la frecuencia de resonancia entre la bobina y el condensador, de modo que cuando el objeto pasa por los arcos, el circuito entra en resonancia, la tensión de salida es máxima y se activan las alarmas. Si en vez de robarlo, somos éticos y se lo damos al cajero este le aplica una tensión muy alta que peta el fusible y por lo tanto la alarma ya no se activa.

De este modo, un día antes de St. Jordi, festividad muy importante en Cataluña, terminamos la sesión de esta semana.

Jueves, 18 de Abril

Empezamos la sesión recordando el tema que nos ocupó toda la clase anterior: Las líneas de transmisión. Si recordamos las condiciones necesarias para que este elemento funcionara, percataremos que era obligatorio conectar un elemento al final de la linea que tubiera un impedancia equivalente igual a la impedancia equivalente de la línea, hecho que nos induce a tener una limitación conectando elementos. No obstante, a grandes males, grandes remedios. Los teóricos de circuitos nos dicen: busca un elemento que te permita tener una resistencia de valor arbitrario, pero que de cara al circuito, tenga la misma impedancia que la línea. Al mismo tiempo, la solución que nos proponen consiste en investigar que son y que utilidad tienen los transformadores. 

El transformador ideal o conversor positivo de impedancias (CPI)

La teoría del generador ideal consiste en un elemento que dada una excitación en la entrada te de una excitación en la salida multiplicada por un factor n, que corresponde al numero de espiras, y que dada una intensidad de entrada te de en la salida, una intensidad cambiada de signo y dividida por el factor n. Algebraicamente, expresado de este modo:

V1=nV2   ;  nI1=-I2

¿Qué pasa si conectamos un bipolo a la salida del CPI?

Si conectamos un bipolo a la salida del CPI lo que ve el circuito de la entrada es este bipolo de impedancia ZL multiplicado por el factor n^2. Particularizando en algunos elementos, el condensador se ve en la entrada como una capacitancia de valor C/(n^2), la bobina se ve como una inductancia de valor L*(n^2)y la resistencia se ve como un resistor de valor R*(n^2). 

Potencia en un CPI

Una propiedad importante e interesante del CPI es que la potencia subministrada en la entrada es igual a la potencia de salida del transformador.

Simbología

Análisis

El método de análisis de circuitos con transformadores es muy metódico, por lo tanto se puede realizar mediante estos pasos:

1. Buscar el bipolo equivalente de la salida del generador
2. Conectar este bipolo equivalente en el circuito de la entrada multiplicado por el factor n^2
3. Buscar la tensión de salida de este circuito
4. Deshacer el cambio y encontrar la tensión al otro lado del generador dividiendolo por el factor n 

Para finalizar la clase, se plantea algún ejercicio sobre este tema, que a priori, parece que puede solucionar el problema que teníamos con las líneas de transmisión. No obstante, no debemos olbidar que estamos tratando con un transformador ideal, por lo tanto, probablemente en la vida real no cumpla todas estas propiedades.

Lunes, 15 de Abril

El primer día de clase enmarcamos el ámbito de estudio a unos circuitos que no pasaban de una cierta medida ya que sino no cumplían las leyes de Kirchoff y se debían analizar por las ecuaciones de Maxwell. En la sesión de hoy, veremos un tipo de cable que permite interconectar dispositivos sin violar dichas leyes: Las lineas de transmisión.

Las líneas de transmisión son cables formados por cobre distribuido de forma coaxial, es decir, una cobertura recubriendo la malla y un hilo en el centro de la malla, y una malla interior flexible. Esta formación tan particular se puede describir con lo que llamaremos el circuito clave de las líneas de transmisión. Este circuito esta formado por los elementos que podemos ver a continuación, una bobina y una resistencia y un condensador conectados en paralelo. La ficha de diseño para que nuestra premisa se cumpla es la siguiente:

1- Zin=sqrt(L/C) <-> RL=sqrt(L/C)

2- |fasor Vo|=|fasor Vg|

3- argVo-argVg=sqrt(L·C)·2·PI·fo

De este modo, lo que obtenemos es una zona de validez para frecuencias pequeñas y, además, analizando el circuito, obtenemos que Pin=PL.

¿Por qué este circuito, con esta ficha técnica, es la solución al problema?

Si se cumplen estas condiciones, lo que conseguimos es "acercar" la resistencia RL como si estuviera conectada justo a la salida del generador. Por lo tanto, si conectáramos esa combinación de bobinas y condensadores indefinidamente y una resistencia al final, esta, de cara al circuito, sería como si estuviera conectada a la salida del generador. Si prestamos atención, veremos que este circuito funciona para frecuencias relativamente bajas, por lo que ha frecuencias muy altas, como la radio no funcionaría.

¿Cómo podemos conseguir Condensadores y Bobinas de valor pequeño?

La solución recae en conectar en un extremo entre dos placas metálicas de anchura W y separadas una altura H un generador y al otro extremo de las placas una resistencia de valor R. De este modo, conseguimos que entre las dos placas aparezca un efecto capacitivo y que internamente en cada placa parezca un efecto inductivo. A esta capacidad la llamaremos Capacidad distribuida (Cd) y la expresaremos de la siguiente forma (expresión) y a esta inductancia la llamaremos Inductancia distribuida (Ld) y la expresaremos de la siguiente forma (expresión).

Por lo tanto, para que el sistema funcione necesitamos que la Impedancia característica de la linea de transmisión sea de igual valor que la resistencia que conectamos en el extremo. Esta impedancia característica es Zo=sqrt(Ld/Cd) y tiene un desfase asociado FI=-sqrt(Ld·Cd)·2PI·fo·l. Como curiosidad, las impedancias características de las lineas de transmisión suelen tener unos valores prefijados de Zo=50 Ohmios o Zo=72 Ohmios, cuyo último valor corresponde al de la televisión.

Pérdidas

Las lineas de transmisión de las que hemos hablado ahora son ideales, no tienen pérdidas, pero como todos sabemos, nada es perfecto. Todas las líneas de transmisión tienen asociadas unas perdidas que dependen de la frecuencia a la que trabajen. Curiosamente, la expresión que relaciona las pérdidas tiene que ver con la expresión comentada la sesión anterior sobre dB y dBm, hecho que nos permite entender el estudio del señor Bell para encontrar una expresión que relacionara estas dos magnitudes. La expresión es la siguiente: PL(dBm)=Pin(dBm)-G(dB), a esta expresión se la conoce como ecuación de la línea de transmisión.

Para terminar, se resuelven un par de ejercicios y se explica como medir la impedancia Zo de una línea de transmisión. Si nosotros cogemos un Ohómetro y conectamos sus terminales a los bordes de la línea de transmisión, observaremos que la Impedancia es infinita. Esto es debido a que el concepto de impedancia se refiere a que ese cable tendría ese valor de tantos Ohmios solo si tuviera una longitud infinita. Por lo tanto, solo podremos medir la impedancia de ese cable cuando esté conectado a un circuito.

Jueves, 11 de Abril

En la última sesión, descubrimos como calcular valores medios, valores eficaces y potencias medias de una excitación cualquiera. Retomando estos conceptos, se empieza la clase introduciendo el concepto de potencia media suministrada en un bipolo. 

Si recordamos la teoría dada en clase, los bipolos pueden estar formados por asociaciones de resistores, condensadores o bobinas. Pues en el caso de la potencia, de todos estos elementos, solo en los resistores se disipa potencia. Por lo tanto, si buscamos una expresión que nos permita calcular esta potencia media disipada, obtenemos la siguiente expresión. Seguidamente, se realizan una serie de ejercicios relacionados con este concepto y posteriormente, se plantea la cuestión: ¿ Qué pasa si hay dos excitaciones de diferente frecuencia alimentando el mismo circuito? Si buscamos en los apuntes de la última sesión, veremos que no se puede aplicar el método de superposición cuando teníamos dos excitaciones de la misma frecuencia. En este caso, cuando tenemos dos excitaciones de diferente frecuencia alimentando el mismo circuito, sí que podemos aplicar superposición para resolver el circuito. Por lo tanto, la expresión que obtenemos de la potencia disipada por un resistor en un circuito de estas características es la siguiente. 

Para terminar la clase, se introducen dos modos de medir potencias: los Decibelios (dB) y una medida muy común en la ingeniería de telecomunicaciones, los dBm. Los decibelios fue un concepto creado por Alexander Graham Bell, definido por la siguiente expresión que relaciona la potencia de salida del circuito con la de entrada (relación). Los dBm es una unidad parecida a los dB pero en vez de relacionar la potencia de salida con la de entrada, relaciona cualquier potencia con un factor 10^-3. De modo, que obtenemos la siguiente expresión. Tras presentar esta nueva forma de medir potencias, se realiza un ejercicio y descubrimos la gran utilidad que tiene esta nueva unidad. La gracia de estas unidades es que se pueden sumar entre ellas de modo que Pl(dBm)=G(dB)+Pin(dBm).