Jueves, 23 de Mayo

Retomamos el hilo de la clase anterior con una clase más práctica que teórica. El último día introducimos el concepto de la Transformada de Laplace y vimos que los polinomios que obtenemos no son nada más que cocientes de polinomios en ese. Seguidamente, ya conociendo las tablas de transformadas y algún concepto más, nos atrevimos a realizar algún ejercicio aplicado a circuitos que resolvimos a partir de ecuaciones diferenciales. El objetivo de la sesión de hoy es intentar conseguir un método mucho más practico que no nos permita resolver el circuito sin necesidad de utilizar las ecuaciones diferenciales, en definitiva, encontrar un método eficiente tal y como hicimos en su día con el CTF. 

Para ello, buscamos la forma de obtener el equivalente de los elementos de los circuitos en régimen temporal traspuestos a la transformada de Laplace. Tras el análisis de los elementos, obtenemos las siguientes conclusiones:

• Resistor: El resistor es el elemento que permanece inmune a la transformada, sigue siendo un resistor de valor R. 
• Inductor: Un inductor de valor L se transforma en un inductor del mismo valor en paralelo con una fuente ideal de corriente cuyo valor es I(0-)/S.
• Condensador: Un condensador de valor C se transforma en un condensador del mismo valor en serie con una fuente ideal de tensión cuyo valor es V(0-)/S.

A partir de estos resultados podemos suponer que existirá, del mismo modo que existe una H(s) para el CTF, una expresión en el dominio de la transformada de Laplace. Efectivamente, existe esta función de red y además coincide con la obtenida con el CTF. Por lo tanto, ¿ Cuál es la respuesta completa del circuito? En el dominio de Laplace está formada por un sumatorio de cocientes de polinomios en s, tantos como raíces haya en el denominador más la excitación de la entrada. Transponiendo al dominio temporal, obtenemos lo que llamaremos la respuesta propia del circuito, la provocada por el circuito por ser tal y como es, formada por las transformadas inversas de Laplace y la respuesta forzada por Vg(t), con su amplificación y desfase correspondiente, que obtendremos como hemos hecho siempre, buscando el módulo y el desfase de H(s) siendo s=jw. 

Jueves, 16 de Mayo

A pocas semanas de terminar el cuadrimestre y para terminar lo que ha sido este curso introductorio sobre circuitos lineales, empezamos un tema nuevo relacionado con el análisis de ese periodo corto antes de producirse el régimen permanente sinusoidal, llamado el transitorio. Para ello, se introduce un nuevo concepto matemático llamado la Transformada de Laplace, en honor a su creador Pierre Simon Laplace. 

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Seguidamente, vamos a exponer las transformadas de las funciones más usuales en el campo de los circuitos:

Como podemos ver, las transformadas de Laplace son cocientes de polinomios en s y por lo tanto podemos representar su diagrama polos-ceros.

¿Qué información obtenemos de los polos de Laplace?

Es justamente a partir del diagrama polos de las transformadas de Laplace de donde podemos sacar toda la información sobre la estabilidad de un circuito y la forma del transitorio. A grandes trechos, podemos clasificar los circuitos en dos grandes grupos: 

Estables: Los circuitos estables son aquellos cuyos polos se sitúan únicamente en el semiplano izquierdo del diagrama o en el eje de ordenadas. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria se desvanece pasado un intervalo pequeño de tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales decrecientes cuyo exponente corresponde a la forma -at, donde a es el punto donde se encuentran (-a,0).
• Polos imaginarios complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales monótonas. 
• Polos complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales decrecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo decrecimiento corresponde a una exponencial del tipo -at, donde a es la parte real del polo.
• Polo en el (0,0): Según la transformada inversa de Laplace obtenemos la función escalón.

Inestables: Los circuitos inestables son aquellos cuyos polos se encuentran en el semiplano derecho del diagrama. Basta con que uno de los polos esté en este semiplano, para que el circuito sea inestable. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria aumenta a medida que va pasando el tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales crecientes cuyo exponente corresponde a la forma at, donde a es el punto donde se encuentran (a,0).
• Polos complejos conjugados:Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales crecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo crecimiento corresponde a una exponencial del tipo at, donde a es la parte real del polo.

Propiedades

Del mismo modo que de una función en el dominio temporal podemos obtener su función transformada de Laplace, de la derivada de la función en el dominio temporal también podemos obtener su función derivada transformada de Laplace. 

Esta propiedad a veces es útil para encontrar la función transformada de Laplace de una función cuando directamente aplicando la definición es realmente complicado. Un ejemplo de esta utilidad es la llamada función rampa, cuya transformada es:

Lunes, 13 de Mayo

Retomamos el hilo de la última sesión  para acabar de matizar los conceptos sobre la serie de Fourier y las representaciones espectrales de una excitación. En él, vemos bastante claro el procedimiento a seguir para encontrar la respuesta en la salida del circuito. Los pasos se detallan a continuación:

• Realizar la representación espectral de la excitación de entrada
• Calcular el trazado de Bode de H(s) del circuito
• Calcular el espectro en Vo multiplicando el valor del espectro de entrada a una frecuencia dada por el módulo de H(s) a esa frecuencia. 

Utilizando este último punto, se introduce una nueva forma de calcular el módulo de la tensión de salida de una forma más rápida. Si en vez de tener el espectro de los módulos de la tensión de entrada, tenemos el espectro de la tensión de entrada en dBmicroVoltios, el espectro de salida se obtendrá sumándole a los espectros de entrada , la ganancia en dB a la frecuencia correspondiente. 

Modelar circuitos

Para terminar, dejamos la teoría sobre espectros y DSF y nos centramos un poco en el modelaje de circuitos. 

• La primera cuestión que se nos propone consiste en como obtener a la salida el valor medio de la excitación de entrada. Como hemos visto, el DSF está formado por una tensión continua correspondiente al valor medio de la excitación. Para ello, el procedimiento a seguir, consiste en eliminar todas las frecuencias sinusoidales usando un circuito paso-bajo, con una frecuencia mucho menor a la frecuencia del primer armónico. En la imagen, podemos ver dos circuitos que desempeñan la función de paso bajo, donde el segundo produce un efecto paso-bajo mayor ya que son dos circuitos RC conectados en cascada y por lo tanto, la atenuación se produce a -40dB/dec.

Usando este ejemplo se introduce un concepto clave para la ingeniería de telecomunicaciones consistente en evaluar la relación señal-ruido del espectro en Vo. Para ello, debemos efectuar la siguiente operación, donde la señal útil es la que nosotros queremos recibir y la señal de ruido son todas las demás:

En el momento que obtenemos el resultado, si la diferencia entre los espectros útil y ruido superan los 30dB podemos afirmar que la contribución del armónico es despreciable. 

• La segunda cuestión consiste en obtener una sinusoide a partir de una señal cuadrada. El método a seguir es simple, solo debemos diseñar un circuito con un pico de resonancia suficientemente estrecho para que el ruido sea despreciable y donde la frecuencia del pico sea el armónico fundamental. Un circuito capaz de desempeñar esta función es el mostrado en la siguiente imagen. 

• La tercera cuestión consiste en diseñar un detector de amplitud o conversor AC-DC. Para ello diseñamos un circuito como el de la imagen donde primeramente convertimos la señal sinusoidal en una señal periódica de semiciclos positivos, seguidamente,a través de un seguidor de tensión para que la corriente no se vea afectada, conectamos un circuito paso-bajo para atenuar las excitaciones sinusoidales y posteriormente conectamos un amplificador no inversor para eliminar el coeficiente Co. 

Jueves, 9 de Mayo

Hasta ahora hemos aprendido a tratar circuitos con excitaciones periódicas que trabajan en RPS (Régimen Permanente Sinusoidal). En este momento del curso, es el momento de extrapolar todos nuestros conocimientos a excitaciones periódicas pero que no sean sinusoidales. Para ello, recurrimos a un matemático francés Jean-Baptiste Fourier que a través de su método llamado Series de Fourier nos propone la descomposición de cualquier función periódica a partir de suma de senos y cosenos.  

Versión matemática

La versión matemática de la serie de Fourier la podemos encontrar en el siguiente enlace, ya que en un Blog de circuitos no tiene sentido explicar la demostración matemática de dicho teorema. Lo que si que es importante es conocer las expresiones de la serie, donde cabe destacar, la integral de la constante, ya que coincide con la expresión del valor medio ya estudiado anteriormente.

Versión circuital

Si se ha consultado el enlace anterior, a grosso modo, podemos entender que la serie de Fourier consta de una componente constante y un sumatorio de cosenos formados por una constante y una frecuencia que depende de un término n, que pertenece a los naturales. Por lo tanto, la representación circuital de una función periódica no senoidal consiste en una fuente ideal de tensión de valor Co y tantos generadores de funciones como términos cojamos, donde el primer generador tiene la misma frecuencia que la excitación, por eso es llamado el armónico fundamental, el segundo generador tendrá una frecuencia doble, el tercer generador una frecuencia triple, y así sucesivamente.

Versión espectral

Del teorema de Fourier podemos sacar una conclusión bastante clara: cualquier excitación tiene un espectro dentro, algo oculto. En este caso, lo que vemos es que cualquier excitación, está formada por un sumatorio de funciones sinusoidales. Por eso, introducimos un nuevo concepto llamado la representación espectral de una función, en la cual representaremos las amplitudes de los espectros de la excitación en función de la frecuencia que tengan, un ejemplo de dicha representación, la podemos ver en la siguiente imagen. 

¿Es buena la aproximación?

Tras realizar un ejemplo donde se introduce una excitación cuadrada y se calcula la potencia disipada tanto a partir de la excitación cuadrada, como a partir del DSF tomando solo un par de términos, es decir, n=2, nos percatamos que la aproximación es del 95%. 

Terminamos la clase, preguntando: Se puede obtener una respuesta continua en la salida de un circuito teniendo como entrada una excitación periódica?

La respuesta no es, ni mucho menos, complicada. Teniendo en cuenta el DSF donde se nos dice que cualquier excitación esta compuesta por una componente continua y un sumatorio de senos y cosenos donde la primera excitación sinusoidal tiene la misma frecuencia que la excitación de entrada, lo que debemos hacer es colocar un circuito paso bajo donde la frecuencia de corte esté muy por debajo del armónico fundamental, de este modo, la componente continua se mantendrá y las excitaciones sinusoidales se atenuarán.

Lunes, 6 de Mayo

Tras no poder asistir a clase debido a asuntos personales, recurrí a pedir los apuntes a un compañero de clase, cuyo Blog podéis ver en el siguiente enlace (http://circuitosenlinea.wordpress.com/) y en el cual podéis encontrar, también, información relevante sobre la asignatura de Circuitos Lineales. Seguidamente, adjuntamos el apartado referente a la sesión del día 6.

Tal y como hicimos con los filtros paso-bajo, definiremos en este caso el ancho de banda como el intervalo de frecuencias que experimentan una amplificación de al menos 3 dB por debajo de la máxima amplificación del pico (esto es, si el pico es de 64 dB, el ancho de banda es el intervalo de frecuencias que son amplificadas al menos 61 dB). Hemos visto que, siempre que ρ < 0.1, las frecuencias de corte superior e inferior (las que delimitan el ancho de banda) son ωo ± 2ρ.

ωci = ωo - 2ρ

ωcs = ωo + 2ρ

Hemos definido también una medida para conocer la precisión o selectividad de un pico de resonancia, y la hemos llamado factor de calidad Q. Es el cociente entre la frecuencia ωo y el ancho de banda, ya que construir un resonador con el mismo ancho de banda pero a una frecuencia de resonancia mucho mayor es más difícil. Por otra parte, un resonador con la misma frecuencia de resonancia que otro pero mayor ancho de banda será de peor calidad.

Q = ωo / BW

Por último, hemos definido el dBμV como 20 veces el logaritmo del cociente entre una tensión y un microvatio. De esta manera, la tensión de salida, expresada en dBμV, será igual a la tensión de entrada, también expresada en dBμV más la ganancia del circuito a esa determinada frecuencia, también expresada en dB. Esto nos simplificará la obtención de tensiones de salida y entrada.

Vo (dBμV) = Vg (dBμV) + G (dB)

Y es con este concepto con el cual acabamos el apartado de la representación de H(s) mediante los trazados de Bode. 

Jueves, 2 de Mayo

Retomamos el hilo de la clase anterior, con un par de ejercicios sobre trazados de Bode y vemos claramente a que se refería este señor cuando decía que la respuesta del circuito es la suma punto a punto de cada termino de los polinomios que forman la H(s). Por ejemplo: Si tenemos un polinomio en el numerador que crece a raíz de 20dB/dec y tiene como frecuencia de corte Wc y un polinomio en el denominador que aporta 0dB para w más pequeña que Wc y -20dB/dec para w>Wc, la gráfica real del circuito crecerá desde menos infinito hasta Wc con una pendiente de 20dB/dec y a partir de Wc, aportará 0dB ya que las pendientes de la gráfica del denominador y la del numerador se cancelarán entre ellas. 

Polinomios de Segundo Orden 

Una vez tenemos claro este concepto, se introduce el concepto de H(s) con polinomio de segundo orden en el denominador, es decir, que se presenta con este formato:

Si queremos encontrar su diagrama de polos de la H(s) debemos encontrar las raíces del denominador. En el momento que efectuamos la operación matemática, vemos que las raíces del denominador dependen fundamentalmente del parámetro ro. Es en este momento donde creemos necesaria la clasificación del diagrama de polos según dicho parámetro.

• Si ro>1 : Obtenemos dos polos situados en la parte negativa del eje real
• Si ro=1:  Obtenemos un polo situado en el eje real negativo
• Si 0 < ro < 1: Obtenemos un par de polos complejos conjugados que tienen parte real negativa y parte compleja. 
• Si ro=0: Obtenemos un par de polos complejos conjugados en el eje imaginario.

¿Qué pasa en el trazado de bode?

En el momento que realizamos el trazado de Bode observamos que resulta una representación similar a la de los polinomios de primer orden pero en vez de una pendiente que decrece a razón de -20dB/dec, decrece a -40dB/dec. 

¿Es grande el error que cometemos respecto a la gráfica real?

En este caso el error que se comete depende íntegramente del parámetro ro, siguiendo esta expresión:

Si representamos la función real, observamos una especie de pico a una frecuencia concreta. A este pico que se produce, se le llama pico de resonancia, ya que a una frecuencia concreta, la frecuencia de corte,

su amplificación es máxima. 

Lunes, 29 de Abril

Con la pasada clase, en la cual acabamos de hablar sobre el tema de transformadores, cerramos una ventana del curso, que si recordamos, abrimos con el tema de los AO's, justo después de hablar de funciones de red H(s). Ahora, a finales de abril es hora de volver a retomar ese tema, y lo vamos a hacer con las llamadas curvas de respuesta frecuencial, que nos permitirán representar funciones de red de una forma extremadamente más sencilla que cómo lo hacíamos hasta ahora. 

Empezamos recordando la definición de una H(s) como cociente de polinomios positivos en 's' del cual el módulo, a una frecuencia determinada, de esta es la amplitud de la sinusoide y el argumento lo podemos obtener restando el argumento del denominador al argumento del numerador. Ya recordado el formato de la H(s), introducimos el concepto de polos-ceros. El concepto polos ceros, viene dado, por caracterizar una H(s) a partir de las raíces que anulan el numerador y el denominador. Para ello, debemos tener el coeficiente de la 's' con mayor exponente con valor la unidad, seguidamente factorizamos el numerador y denominador, de modo que las raíces del numerador se llamaran ceros y las raíces del denominador se llamaran polos. Nota: Un aspecto a tener en cuenta es que si nos aparece un raíz compleja debe estar presente, en la factorización, también su raíz compleja conjugada. Ya encontrados los polos y los ceros, podemos representar una función H(s) por su diagrama polos-ceros, tal y como podemos ver en la imagen. 

Una vez tenemos claro este concepto, se nos introduce una forma de representar la amplificación de un circuito usando el método propuesto por Henrick Wade Bode. Lo que bode propone es representar el comportamiento del circuito como veinte veces el logaritmo del modulo de la función de red. 

Por lo tanto, representaremos la ganancia en dB en función de una escala logarítmica, es decir, que las frecuencias que se encuentran separadas por una misma distancia serán proporcionales a un factor 10, es decir, separadas una década. Dicha expresión se representa de la siguiente manera: 

Del mismo modo, hayamos otra medida llamada octava, cuya separación de frecuencias es proporcional a un factor 2. Por lo tanto, el número de octavas entre dos frecuencias será el siguiente: 

Si intentamos buscar una relación entre las dos definiciones, podemos concluir que:

nº décadas= nºoctavas*sqrt(2)= nº octavas*0,3

Representación por Bode de H(s)

Seguidamente, en este apartado, vamos a expresar, algún trazado de Bode, como ejemplo. Para ello debemos, expresar lo que propone Bode y particularizarlo en los llamados circuitos asintóticos, para w=0 y w tendiendo a infinito. 

Errores

Parece que esta teoría tiene buena pinta, ya que satisface los circuitos asintóticos pero, ¿realmente es fiable? La respuesta es que sí, en el punto de máximo error, es decir, en la frecuencia que se produce el cambio, la gráfica real solo se separa 3dB de la trazada por Bode. Por lo tanto, podemos dar la teoría de Bode como buena. No obstante, hace falta añadir que para desfases, la teoría no es tan buena, el error es más considerable.