Jueves, 9 de Mayo

Hasta ahora hemos aprendido a tratar circuitos con excitaciones periódicas que trabajan en RPS (Régimen Permanente Sinusoidal). En este momento del curso, es el momento de extrapolar todos nuestros conocimientos a excitaciones periódicas pero que no sean sinusoidales. Para ello, recurrimos a un matemático francés Jean-Baptiste Fourier que a través de su método llamado Series de Fourier nos propone la descomposición de cualquier función periódica a partir de suma de senos y cosenos.  

Versión matemática

La versión matemática de la serie de Fourier la podemos encontrar en el siguiente enlace, ya que en un Blog de circuitos no tiene sentido explicar la demostración matemática de dicho teorema. Lo que si que es importante es conocer las expresiones de la serie, donde cabe destacar, la integral de la constante, ya que coincide con la expresión del valor medio ya estudiado anteriormente.

Versión circuital

Si se ha consultado el enlace anterior, a grosso modo, podemos entender que la serie de Fourier consta de una componente constante y un sumatorio de cosenos formados por una constante y una frecuencia que depende de un término n, que pertenece a los naturales. Por lo tanto, la representación circuital de una función periódica no senoidal consiste en una fuente ideal de tensión de valor Co y tantos generadores de funciones como términos cojamos, donde el primer generador tiene la misma frecuencia que la excitación, por eso es llamado el armónico fundamental, el segundo generador tendrá una frecuencia doble, el tercer generador una frecuencia triple, y así sucesivamente.

Versión espectral

Del teorema de Fourier podemos sacar una conclusión bastante clara: cualquier excitación tiene un espectro dentro, algo oculto. En este caso, lo que vemos es que cualquier excitación, está formada por un sumatorio de funciones sinusoidales. Por eso, introducimos un nuevo concepto llamado la representación espectral de una función, en la cual representaremos las amplitudes de los espectros de la excitación en función de la frecuencia que tengan, un ejemplo de dicha representación, la podemos ver en la siguiente imagen. 

¿Es buena la aproximación?

Tras realizar un ejemplo donde se introduce una excitación cuadrada y se calcula la potencia disipada tanto a partir de la excitación cuadrada, como a partir del DSF tomando solo un par de términos, es decir, n=2, nos percatamos que la aproximación es del 95%. 

Terminamos la clase, preguntando: Se puede obtener una respuesta continua en la salida de un circuito teniendo como entrada una excitación periódica?

La respuesta no es, ni mucho menos, complicada. Teniendo en cuenta el DSF donde se nos dice que cualquier excitación esta compuesta por una componente continua y un sumatorio de senos y cosenos donde la primera excitación sinusoidal tiene la misma frecuencia que la excitación de entrada, lo que debemos hacer es colocar un circuito paso bajo donde la frecuencia de corte esté muy por debajo del armónico fundamental, de este modo, la componente continua se mantendrá y las excitaciones sinusoidales se atenuarán.

Lunes, 6 de Mayo

Tras no poder asistir a clase debido a asuntos personales, recurrí a pedir los apuntes a un compañero de clase, cuyo Blog podéis ver en el siguiente enlace (http://circuitosenlinea.wordpress.com/) y en el cual podéis encontrar, también, información relevante sobre la asignatura de Circuitos Lineales. Seguidamente, adjuntamos el apartado referente a la sesión del día 6.

Tal y como hicimos con los filtros paso-bajo, definiremos en este caso el ancho de banda como el intervalo de frecuencias que experimentan una amplificación de al menos 3 dB por debajo de la máxima amplificación del pico (esto es, si el pico es de 64 dB, el ancho de banda es el intervalo de frecuencias que son amplificadas al menos 61 dB). Hemos visto que, siempre que ρ < 0.1, las frecuencias de corte superior e inferior (las que delimitan el ancho de banda) son ωo ± 2ρ.

ωci = ωo - 2ρ

ωcs = ωo + 2ρ

Hemos definido también una medida para conocer la precisión o selectividad de un pico de resonancia, y la hemos llamado factor de calidad Q. Es el cociente entre la frecuencia ωo y el ancho de banda, ya que construir un resonador con el mismo ancho de banda pero a una frecuencia de resonancia mucho mayor es más difícil. Por otra parte, un resonador con la misma frecuencia de resonancia que otro pero mayor ancho de banda será de peor calidad.

Q = ωo / BW

Por último, hemos definido el dBμV como 20 veces el logaritmo del cociente entre una tensión y un microvatio. De esta manera, la tensión de salida, expresada en dBμV, será igual a la tensión de entrada, también expresada en dBμV más la ganancia del circuito a esa determinada frecuencia, también expresada en dB. Esto nos simplificará la obtención de tensiones de salida y entrada.

Vo (dBμV) = Vg (dBμV) + G (dB)

Y es con este concepto con el cual acabamos el apartado de la representación de H(s) mediante los trazados de Bode. 

Jueves, 2 de Mayo

Retomamos el hilo de la clase anterior, con un par de ejercicios sobre trazados de Bode y vemos claramente a que se refería este señor cuando decía que la respuesta del circuito es la suma punto a punto de cada termino de los polinomios que forman la H(s). Por ejemplo: Si tenemos un polinomio en el numerador que crece a raíz de 20dB/dec y tiene como frecuencia de corte Wc y un polinomio en el denominador que aporta 0dB para w más pequeña que Wc y -20dB/dec para w>Wc, la gráfica real del circuito crecerá desde menos infinito hasta Wc con una pendiente de 20dB/dec y a partir de Wc, aportará 0dB ya que las pendientes de la gráfica del denominador y la del numerador se cancelarán entre ellas. 

Polinomios de Segundo Orden 

Una vez tenemos claro este concepto, se introduce el concepto de H(s) con polinomio de segundo orden en el denominador, es decir, que se presenta con este formato:

Si queremos encontrar su diagrama de polos de la H(s) debemos encontrar las raíces del denominador. En el momento que efectuamos la operación matemática, vemos que las raíces del denominador dependen fundamentalmente del parámetro ro. Es en este momento donde creemos necesaria la clasificación del diagrama de polos según dicho parámetro.

• Si ro>1 : Obtenemos dos polos situados en la parte negativa del eje real
• Si ro=1:  Obtenemos un polo situado en el eje real negativo
• Si 0 < ro < 1: Obtenemos un par de polos complejos conjugados que tienen parte real negativa y parte compleja. 
• Si ro=0: Obtenemos un par de polos complejos conjugados en el eje imaginario.

¿Qué pasa en el trazado de bode?

En el momento que realizamos el trazado de Bode observamos que resulta una representación similar a la de los polinomios de primer orden pero en vez de una pendiente que decrece a razón de -20dB/dec, decrece a -40dB/dec. 

¿Es grande el error que cometemos respecto a la gráfica real?

En este caso el error que se comete depende íntegramente del parámetro ro, siguiendo esta expresión:

Si representamos la función real, observamos una especie de pico a una frecuencia concreta. A este pico que se produce, se le llama pico de resonancia, ya que a una frecuencia concreta, la frecuencia de corte,

su amplificación es máxima. 

Lunes, 29 de Abril

Con la pasada clase, en la cual acabamos de hablar sobre el tema de transformadores, cerramos una ventana del curso, que si recordamos, abrimos con el tema de los AO's, justo después de hablar de funciones de red H(s). Ahora, a finales de abril es hora de volver a retomar ese tema, y lo vamos a hacer con las llamadas curvas de respuesta frecuencial, que nos permitirán representar funciones de red de una forma extremadamente más sencilla que cómo lo hacíamos hasta ahora. 

Empezamos recordando la definición de una H(s) como cociente de polinomios positivos en 's' del cual el módulo, a una frecuencia determinada, de esta es la amplitud de la sinusoide y el argumento lo podemos obtener restando el argumento del denominador al argumento del numerador. Ya recordado el formato de la H(s), introducimos el concepto de polos-ceros. El concepto polos ceros, viene dado, por caracterizar una H(s) a partir de las raíces que anulan el numerador y el denominador. Para ello, debemos tener el coeficiente de la 's' con mayor exponente con valor la unidad, seguidamente factorizamos el numerador y denominador, de modo que las raíces del numerador se llamaran ceros y las raíces del denominador se llamaran polos. Nota: Un aspecto a tener en cuenta es que si nos aparece un raíz compleja debe estar presente, en la factorización, también su raíz compleja conjugada. Ya encontrados los polos y los ceros, podemos representar una función H(s) por su diagrama polos-ceros, tal y como podemos ver en la imagen. 

Una vez tenemos claro este concepto, se nos introduce una forma de representar la amplificación de un circuito usando el método propuesto por Henrick Wade Bode. Lo que bode propone es representar el comportamiento del circuito como veinte veces el logaritmo del modulo de la función de red. 

Por lo tanto, representaremos la ganancia en dB en función de una escala logarítmica, es decir, que las frecuencias que se encuentran separadas por una misma distancia serán proporcionales a un factor 10, es decir, separadas una década. Dicha expresión se representa de la siguiente manera: 

Del mismo modo, hayamos otra medida llamada octava, cuya separación de frecuencias es proporcional a un factor 2. Por lo tanto, el número de octavas entre dos frecuencias será el siguiente: 

Si intentamos buscar una relación entre las dos definiciones, podemos concluir que:

nº décadas= nºoctavas*sqrt(2)= nº octavas*0,3

Representación por Bode de H(s)

Seguidamente, en este apartado, vamos a expresar, algún trazado de Bode, como ejemplo. Para ello debemos, expresar lo que propone Bode y particularizarlo en los llamados circuitos asintóticos, para w=0 y w tendiendo a infinito. 

Errores

Parece que esta teoría tiene buena pinta, ya que satisface los circuitos asintóticos pero, ¿realmente es fiable? La respuesta es que sí, en el punto de máximo error, es decir, en la frecuencia que se produce el cambio, la gráfica real solo se separa 3dB de la trazada por Bode. Por lo tanto, podemos dar la teoría de Bode como buena. No obstante, hace falta añadir que para desfases, la teoría no es tan buena, el error es más considerable.