Jueves, 16 de Mayo

A pocas semanas de terminar el cuadrimestre y para terminar lo que ha sido este curso introductorio sobre circuitos lineales, empezamos un tema nuevo relacionado con el análisis de ese periodo corto antes de producirse el régimen permanente sinusoidal, llamado el transitorio. Para ello, se introduce un nuevo concepto matemático llamado la Transformada de Laplace, en honor a su creador Pierre Simon Laplace. 

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Seguidamente, vamos a exponer las transformadas de las funciones más usuales en el campo de los circuitos:

Como podemos ver, las transformadas de Laplace son cocientes de polinomios en s y por lo tanto podemos representar su diagrama polos-ceros.

¿Qué información obtenemos de los polos de Laplace?

Es justamente a partir del diagrama polos de las transformadas de Laplace de donde podemos sacar toda la información sobre la estabilidad de un circuito y la forma del transitorio. A grandes trechos, podemos clasificar los circuitos en dos grandes grupos: 

Estables: Los circuitos estables son aquellos cuyos polos se sitúan únicamente en el semiplano izquierdo del diagrama o en el eje de ordenadas. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria se desvanece pasado un intervalo pequeño de tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales decrecientes cuyo exponente corresponde a la forma -at, donde a es el punto donde se encuentran (-a,0).
• Polos imaginarios complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales monótonas. 
• Polos complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales decrecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo decrecimiento corresponde a una exponencial del tipo -at, donde a es la parte real del polo.
• Polo en el (0,0): Según la transformada inversa de Laplace obtenemos la función escalón.

Inestables: Los circuitos inestables son aquellos cuyos polos se encuentran en el semiplano derecho del diagrama. Basta con que uno de los polos esté en este semiplano, para que el circuito sea inestable. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria aumenta a medida que va pasando el tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales crecientes cuyo exponente corresponde a la forma at, donde a es el punto donde se encuentran (a,0).
• Polos complejos conjugados:Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales crecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo crecimiento corresponde a una exponencial del tipo at, donde a es la parte real del polo.

Propiedades

Del mismo modo que de una función en el dominio temporal podemos obtener su función transformada de Laplace, de la derivada de la función en el dominio temporal también podemos obtener su función derivada transformada de Laplace. 

Esta propiedad a veces es útil para encontrar la función transformada de Laplace de una función cuando directamente aplicando la definición es realmente complicado. Un ejemplo de esta utilidad es la llamada función rampa, cuya transformada es: